高考數學知識點：函數導數不等式(4)
來源：網絡資源 2018-10-19 20:28:10
36． 解：（Ⅰ）當 , 時 , ,
所以 在 遞增,所以 … …………………………4分
（Ⅱ）①當 時， ， ， ， 恒成立,
在 上增函數,故當 時， ……… ……………5分
②當 時， ， ，
（i） 當 即 時， 在 時為正數，
所以 在區間 上為增函數,故當 時， ，且此時 …………7分
(ii)當 ,即 時，
在 時為負數，在間 時為正數,
所以 在區間 上為減函數，在 上為增函數,
故當 時， ，且此時 ………………8分
(iii)當 ,即 時， 在 時為負數，
所以 在區間[1,e]上為減函數，
故當 時， …………… ………………………………………9分
綜上所述，函數 的最小值為 ………10分
所以當 時,得 ；當 ( )時,無解；
當 （ ）時,得 不成立. 綜上,所求 的取值范圍是 ……………11分
（Ⅲ）①當 時, 在 單調遞增,
由 ,得 … ………………12分
②當 時， 在 先減后增,由 ,
得 ,
設 , ,
所以 單調遞增且 ，所以 恒成立得 … … …………14分
③當 時, 在 遞增，在 遞減，
在 遞增,所以由 ,
得 ,設 ,
則 ,所以 遞增，且 ,所以 恒成立，無解.
④當 時， 在 遞增，在 遞減，在 遞增,
所以由 得 無解.
綜上,所求 的取值范圍是 ………………16分
37． 解答：（1）方程 ，即 ，變形得 ，
顯然， 已是該方程的根，從而欲原方程只有一解，即要求方程 ，
有且僅有一個等于1的解或無解， 結合圖形得 . …………………4分
（2）不等式 對 恒成立，即 （*）對 恒成立，
①當 時，（*）顯然成立，此時 ；
②當 時，（*）可變形為 ，令
因為當 時， ，當 時， ，所以 ，故此時 .
綜合①②，得所求實數 的取值范圍是 . …………………………………8分
（3）因為 = …10分
①當 時，結合圖形可知 在 上遞減，在 上遞增，
且 ，經比較，此時 在 上的最大值為 .
②當 時，結合圖形可知 在 ， 上遞減，
在 ， 上遞增，且 ， ，
經比較，知此時 在 上的最大值為 .
③當 時，結合圖形可知 在 ， 上遞減，
在 ， 上遞增，且 ， ，
經比較，知此時 在 上的最大值為 .
④當 時，結合圖形可知 在 ， 上遞減，
在 ， 上遞增，且 , ，
經比較，知此時 在 上的最大值為 .
當 時，結合圖形可知 在 上遞減，在 上遞增，
故此時 在 上的最大值為 .
綜上所述，當 時， 在 上的最大值為 ；當 時， 在 上的最大值為 ；當 時， 在 上的最大值為0.………………………………………16分
38、解：(Ⅰ)對任意 ， ，
， ，所以 .
對任意的 ， ，
，
所以0＜ ，
令 ＝ ， ，
，所以 . ………5分
(Ⅱ)反證法:設存在兩個 使得 ， 則
由 ，得 ，所以 ，矛盾，故結論成立. (Ⅲ) ，
所以
……
……
＋…+
. ………13分
39、解：（1）由題意可得： ， 。
（2） ， ，
當 時，
當 時，
當 時， 綜上所述， 。
即存在 ，使得 是[-1,4]上的"4階收縮函數"。
（3） ，令 得 或 。函數 的變化情況如下：
x 0 2
- 0 + 0 -
0 4
令 得 或 。
（i）當 時， 在 上單調遞增，因此， ， 。因為 是 上的"二階收縮函數"，所以，
① 對 恒成立；
②存在 ，使得 成立。
①即： 對 恒成立，由 解得 或 。
要使 對 恒成立，需且只需 。
②即：存在 ，使得 成立。
由 解得 或 。
所以，只需 。綜合①②可得 。
（i i）當 時， 在 上單調遞增，在 上單調遞減，因此， ， ， ，顯然當 時， 不成立。
（i i i）當 時， 在 上單調遞增，在 上單調遞減，因此， ， ， ，顯然當 時， 不成立。
綜合（i）（i i）（i i i）可得： 。
40、解：（Ⅰ） ，（ ），
在區間 和 上， ；在區間 上， .
所以， 的單調遞減區間是 和 ，單調遞增區間是 .
（Ⅱ）設切點坐標為 ，則 解得 ， .
（Ⅲ） ， 則 ，
解 ，得 ，所以，在區間 上， 為遞減函數，
在區間 上， 為遞增函數.
當 ，即 時，在區間 上， 為遞增函數，所以 最大值為 .
當 ，即 時，在區間 上， 為遞減函數，所以 最大值為 .
當 ，即 時， 的最大值為 和 中較大者；
，解得 ，
所以， 時， 最大值為 ， 時， 最大值為 .
綜上所述，當 時， 最大值為 ，當 時， 的最大值為 .
41、解：（1）設過原點 且和函數 的圖象相切的切線的切點為 ，則：
，又 ，切線 的斜率 ，
解 ， ．
結合圖象知，點 與原點 連成直線的斜率取值范圍是 ；………４分
（2）由已知可設 各點的坐標分別為
則 且 ∴ ∴
∵直線 過原點 ，∴ ，∴ ，于是 ，即 ，∴直線 也過原點 ． ………8分
（3）當直線 與 軸平行時， ，
∴ = ……………10分
于是方程 可化為 ，
由于 ，且 不是該方程的解，所以原方程等價于 ，………11分
令 ，則 對一切 成立，
所以和 在 和 都是增函數， …………………………………13分
又因為 ； ， …………15分
所以方程 有且只有兩個實根，并且分別在區間 和 上，
所求整數 的值為1和 ． …………………………………16分；
42、解：(Ⅰ)由 得到： ，[來源:學科網ZXXK]
，故 在 有唯一的極值點， ，
， ，
且知 ，所以最大值為 ．…………………6分
(Ⅱ) ，又 有兩個不等的實根 ，
則 ，兩式相減得到: …………………8分[來源:學科網]
于是
， …………………10分
要證： ，只需證：
只需證： ①
令 ，只需證： 在 上恒成立，
又∵
∵ ，則 ，于是由 可知 ，
故知 在 上 為增函數，
則 ，從而知 ，即①成立，從而 原不等式成立.………15分
43、 解：（1）設 ，
∵ 是偶函數，∴ ，∴ ； （4分）
（2）設
∴ （8分）
由 知， ，∴ （11分）
（3）設
∵ 是偶函數，∴ ，
即 ，∴ 得 （13分）
則
，∵ 有最小值則必有 ，且有
∴ ， 16分
在 上為增函數，在 上為減函數．18分
44、解：(1)當a=-2，f(x)=-2x2+8x+3最大值11，令|f(x)|=5只須考慮-2x2+8x+3=5
得x=2± . 如圖， (a)=2- .
(2) f（x）=a（x+ ）2+3﹣ ．
（1）當3﹣ ＞5，即﹣8＜a＜0時，
l（a）是方程ax2+8x+3=5的較小根，故l（a）= ．
（2）當3﹣ ≤5，即a≤﹣8時，
l（a）是方程ax2+8x+3=﹣5的較大根，故l（a）= ．
綜合以上，l（a）=
當a≤﹣8時，l（a）= = ≤ = ；
當﹣8＜a＜0時，l（a）= = ＜ ＜ ．
所以a=﹣8時，l（a）取得最大值 ．
三、考前熱身
1、 2、 。 3、(1) 3 。 (2) 0＜a＜2且a ，4、 -2 。 5、 ．
6、 7、 8、1或-1 9、充分必要條件 10、 11、 12
13、3 14、 15、 16、 17、 18、4 19、 20、1 21、 4 ．
22、解：（Ⅰ）依題意，有 ， ．因此， 的解析式為 ；
（Ⅱ）由 （ ）得 （ ），解之得 （ ）
由此可得 : 且 ，所以實數 的取值范圍是 ．
23、解：（Ⅰ） ， 依題意有 ，故 ．
從而 ．
的定義域為 ，當 時， ；
當 時， ； 當 時， ．
從而， 分別在區間 單調增加，在區間 單調減少．
（Ⅱ） 的定義域為 ， ．
方程 的判別式 ．
（ⅰ）若 ，即 ，在 的定義域內 ，故 的極值．
（ⅱ）若 ，則 或 ．
若 ， ， ．
當 時， ，當 時， ，所以 無極值．
若 ， ， ， 也無極值．
（ⅲ）若 ，即 或 ，則 有兩個不同的實根 ， ．
當 時， ，從而 有 的定義域內沒有零點，故 無極值．
當 時， ， ， 在 的定義域內有兩個不同的零點，由根值判別方法知 在 取得極值．綜上， 存在極值時， 的取值范圍為 ．
的極值之和為 ．
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