08高考數學復習：三角函數專題熱點復習指導

　　天津市第四十二中學張鼎言

　　已知函數f(x)=--sin2x+sinxcosx

　　(Ⅰ)求f(-)的值；

　　(Ⅱ)設α∈(0，π)，f(-)=---，sinα的值。

　　解：(Ⅰ)化簡f(x)，f(x)=-cos2x+-sin2x--

　　=sin(2x+-)--

　　f(-)=sin---=0

　　解：(Ⅱ)f(-)=sin(α+-)--

　　=---，

　　∴sin(α+-)=-

　　-sinα+-cosα=-

　　sinα+-cosα=-

　　-cosα=--sinα

　　兩邊平方整理關于sinα的二次方程：

　　16sin2α-4sinα-11=0

　　∵α∈(0，π)

　　∴sinα=-

　　注：在三角函數的求值、化簡及研究三角函數的性質中，公式αsinα+bcosα=-sin(α+φ)，tanφ=-ba，起著重要的作用。

　　(二)三角函數的圖象與性質

　　復習導引：這一部分是高考的重點內容。三角函數的研究內容與方法既具有一般函數性質，又有其特殊的性質，周期性突顯出來，如第3、9題，從圖象角度審視，軸對稱、中心對稱、成為擬題的載體，如第4、5、6、11題。

　　1.設函數f(x)=-cos2ωx+sinωxcosωx+α(其中ω>0，α∈R)，且f(x)的圖象在y軸右側的第一個高點的橫坐標為-。

　　(Ⅰ)求ω的值；

　　(Ⅱ)如果f(x)在區間[--，-]上的最小值為-，求α的值。

　　解：(Ⅰ)f(x)=-cos2ωx+sinωx·cosωx+α

　　=--+-sin2ωx+α

　　=-sin2ωx+-cos2ωx+α+-

　　=sin(2ωx+-)+α+-

　　2ω·■+-=-，ω=-

　　(Ⅱ)f(x)=sin(x+-)+α+-

　　--≤x≤-

　　0≤x+-≤-

　　fmin(x)=f(-)=--+α+-=-

　　∴α=-+-

　　2.如圖，函數y=2sin(πx+φ)，(x∈R)，(其中0≤φ≤-)的圖象與y軸交于點(0，1)。

　　(Ⅰ)求φ的值；

　　(Ⅱ)設p是圖象上的最高點，M、N是圖象與x軸的交點，求-與-的夾角。

　　解：(Ⅰ)f(0)=2sinφ=1，sinφ=-

　　0≤φ≤-∴φ=-

　　(Ⅱ)f(x)=2sin(πx+-)

　　∵P為最高點

　　∴πx+-=-，x=-，Q(-，0)

　　f(x)周期T=-=2，-=1，|MN|=1，|NQ|=-，|PQ|=2，tanα=-

　　cos2α=-=-

　　∴-與-的夾角是arccos-

　　3.已知函數f(x)=Asin2(ωx+φ)，(A>0，ω>0，0<φ<-)，且y=f(x)的最大值為2，其圖象相鄰兩對稱軸的距離為2，并過點(1，2)。

　　(1)求φ；

　　(2)計算f(1)+f(2)+…+f(2008)。

　　解：(Ⅰ)f(x)=Asin2(ωx+φ)=---cos(2ωx+2φ)

　　fmax(x)=--(--)=2∴A=2

　　由已知，T=4=-，ω=-

　　f(x)=1-cos(-x+2φ)

　　f(1)=1-cos(-+2φ)=2

　　∴sin2φ=10<φ<-

　　∴φ=-

　　∴f(x)=sin(-x)+1

　　(Ⅱ)f(1)=sin-+1=2

　　f(2)=sinπ+1=1

　　f(3)=sin-+1=0

　　f(4)=sin2π+1=1

　　又f(n)是以4為周期的函數

　　-=502

　　∴f(1)+f(2)+…+f(2008)=502×4=2008

　　4.設函數f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)，y=f(x)圖象的一條對稱軸是直線x=-。

　　(Ⅰ)求φ；

　　(Ⅱ)求函數y=f(x)的單調增區間；

　　(Ⅲ)證明直線5x-2y+c=0與函數y=f(x)的圖象不相切。

　　解：(Ⅰ)∵x=-為f(x)對稱軸，

　　∴sin(2×■+φ)=±1.

　　∴sin(-+φ)=±1，-π<φ<0

　　∴-+φ=--，φ=--

　　∴f(x)=sin(2x--)

　　解：(Ⅱ)f(x)的單調遞增區間

　　2kπ--≤2x--≤2kπ+-，k∈Z

　　kπ+-≤x≤kπ+-，k∈Z

　　證明：(Ⅲ)5x-2y+c=0，斜率k=-

　　f(x)=sin(2x--)

　　k'=f'(x)=2cos(2x--)

　　|k'|≤2

　　∵k≠|k'|∴不能相切

　　注：本題闡述了三角函數圖象軸對稱求解析式的方法。